Bepaling van die determinant van 'n 3x3-matriks: 12 stappe (met prente)

Inhoud

Trappe
- Deel 1 van 2: Bepaling van die determinant
- Deel 2 van 2: Vereenvoudig die probleem
Wenke

Die determinant van `n matriks word wyd gebruik in wiskunde, lineêre algebra en hoër meetkunde. Buite die wetenskaplike wêreld gebruik rekenaargrafiese ingenieurs en programmeerders gereeld die determinante van matrikse. Lees hierdie artikel om die determinant van `n 3x3-matriks te bepaal.

Trappe

Deel 1 van 2: Bepaling van die determinant

Prent getiteld Vind die Determinant van `n 3X3-matriks Stap 1

1. Skryf jou 3 x 3 matriks neer. Ons begin met `n 3 x 3 matriks A en probeer die determinant |A| om daarvan te hou. Ons gebruik die volgende algemene notasie vir die matriks (en dit is ons voorbeeldmatriks):

$m = (\begin{matrix} a \end{matrix} 11 a_{12} a_{13} a_{21} & a_{22} & a_{23} a_{31} & a_{32} & a_{33}) = (\begin{matrix} 1 & 5 & 3 \\ 2 & 4 & 7 \\ 4 & 6 & 2 \end{matrix})$ $M={begin{pmatrix}a_{{11}}&a_{{12}}&a_{{13}}\a_{{21}}&a_{{22}}&a_{ {23}}\a_{{31}}&a_{{32}}&a_{{33}}end{pmatrix}}={begin{pmatrix}1&5&3\2& 4&7\4&6&2end{pmatrix}}$

Prent getiteld Vind die Determinant van `n 3X3-matriks Stap 2

2. Kies een ry of kolom. Dit sal jou verwysingsry of kolom wees. Jy sal dieselfde antwoord kry, maak nie saak watter een jy kies nie. Kies nou net die eerste ry. Ons sal jou later raad gee oor hoe om die opsie te kies wat die maklikste is om te bereken.

Kom ons kies die eerste ry van ons voorbeeldmatriks A. Omkring die 1 5 3. In algemene terme, omkring a₁₁ a₁₂ a₁₃.

Prent getiteld Vind die Determinant van `n 3X3-matriks Stap 3

3. Trek die ry en kolom van die eerste element deur. Kyk na die ry of kolom wat jy omkring en kies die eerste element. Trek `n lyn deur die ooreenstemmende ry en kolom. As alles goed gaan, lewer dit nou vier syfers op. Ons hanteer dit as `n 2 x 2 matriks.

In ons voorbeeld is die verwysingsry 1 5 3. Dit eerste element is in ry 1 en kolom 1. Trek ry 1 en kolom 1 heeltemal deur. Skryf die oorblywende elemente neer as a2 x 2 matriks:

~~1 5 3~~
2 4 7
4 6 2

Prent getiteld Vind die Determinant van `n 3X3-matriks Stap 4

4. Bepaal die determinant van die 2 x 2 matriks. Moenie vergeet nie: die matriks

(\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix})

${begin{pmatrix}a&b\c&dend{pmatrix}}$ het `n determinant van advertensie - bc. Jy weet dit deur `n kruis (X) deur die 2 x 2 matriks te trek. Vermenigvuldig die twee getalle wat met die van die X verbind word. Trek dan die produk af van die twee getalle wat deur die / verbind word. Gebruik hierdie formule om die determinant van die matriks wat jy sopas gevind het, te bereken.

In ons voorbeeld is die determinant van die matriks

(\begin{matrix} 4 & 7 \\ 6 & 2 \end{matrix})

${begin{pmatrix}4&7\6&2end{pmatrix}}$ = 4 * 2 - 7 * 6 = -34.

Hierdie determinant word die minderjarige van die element wat ons in ons oorspronklike matriks gekies het. In hierdie geval het ons die minderjarige van a₁₁ het dit gekry.

Prent getiteld Vind die Determinant van `n 3X3-matriks Stap 5

5. Vermenigvuldig die antwoord met jou gekose element. Onthou dat jy `n element uit jou verwysingsry (of kolom) gekies het toe jy besluit het watter ry en kolom om deur te trek. Vermenigvuldig hierdie element met die determinant wat jy pas vir die 2x2-matriks bereken het.

In ons voorbeeld het ons `n₁₁ gekies, wat `n waarde van 1 het. Vermenigvuldig dit met -34 (die determinant van die 2x2 matriks) om 1*-34 = -34 om te kry.

Prent getiteld Vind die Determinant van `n 3X3-matriks Stap 6

6. Bepaal die teken van jou antwoord. Vermenigvuldig nou die antwoord met 1 of met -1 om die kofaktor van jou gekose element. Watter een jy gebruik hang af van die posisie van die element in die 3x3-matriks. Memoriseer die volgende eenvoudige tabel om uit te vind watter element wat veroorsaak:

+ - +
- + -
+ - +

Omdat ons a₁₁ gekies het, gemerk met `n +, ons vermenigvuldig die getal met +1 (met ander woorde, ons doen niks daarmee nie). Die antwoord is steeds -34.

Nog `n manier om die teken te bepaal, is met die formule (-1), waar i en j vorm die ry en kolom van die element.

Prent getiteld Vind die Determinant van `n 3X3-matriks Stap 7

7. Herhaal hierdie proses vir die tweede element in jou verwysingsry of -kolom. Gaan voort met die oorspronklike 3x3-matriks, met die ry of kolom wat jy vroeër omsirkel het. Herhaal dieselfde proses met hierdie element:

Kruis die ry en kolom van daardie element. In hierdie geval kies jy die element a₁₂ (met waarde 5). Kruis die eerste ry (1 5 3) en die tweede kolom

(\begin{matrix} 5 \\ 4 \\ 6 \end{matrix})

${begin{pmatrix}5\4\6end{pmatrix}}$ .

Behandel die oorblywende elemente as `n 2x2 matriks. In ons voorbeeld is die matriks

(\begin{matrix} 2 & 7 \\ 4 & 2 \end{matrix})

${begin{pmatrix}2&7\4&2end{pmatrix}}$

Bepaal die determinant van hierdie 2x2 matriks. Gebruik die formule ad - bc. (2*2 - 7*4 = -24)

Vermenigvuldig dit met die gekose element van die 3x3-matriks. -24 * 5 = -120

Bepaal of jy met -1 moet vermenigvuldig. Gebruik die karaktertabel of die formule (-1). Ons het element a₁₂ gekies, en dit is `n – op die karaktertabel. Ons moet die teken van ons antwoord verander: (-1)*(-120) = 120.

Prent getiteld Vind die Determinant van `n 3X3-matriks Stap 8

8. Herhaal vir die derde element. Jy moet nou `n kofaktor vind. Bereken i vir die derde term in jou verwysingsry of -kolom. Hier is `n vinnige verduideliking van hoe om die kofaktor van te bereken ₁₃ in ons voorbeeld:

Kruis ry 1 en kolom 3 en kry

(\begin{matrix} 2 & 4 \\ 4 & 6 \end{matrix})

${begin{pmatrix}2&4\4&6end{pmatrix}}$

Die determinant daarvan is 2*6 - 4*4 = -4.

Vermenigvuldig dit met die element a₁₃: -4 * 3 = -12.

element a₁₃ is `n + op die karaktertabel, so die antwoord is -12.

Prent getiteld Vind die Determinant van `n 3X3-matriks Stap 9

9. Voeg die drie resultate bymekaar. Dit is die laaste stap. Jy het kofaktore bereken, een vir elke element in `n enkele ry of kolom. Voeg dit bymekaar en jy het die determinant van die 3x3-matriks gevind.

In ons voorbeeld is die determinant -34 + 120 + -12 = 74.

Deel 2 van 2: Vereenvoudig die probleem

Prent getiteld Vind die Determinant van `n 3X3-matriks Stap 10

1. Kies die verwysing met die meeste nulle. Moenie vergeet dat jy elk kan ry of kolom as verwysing kies. Jy sal dieselfde antwoord kry, maak nie saak wat jy kies nie. As jy `n ry of kolom met nulle kies, hoef jy net die kofaktor te bereken van die elemente wat nie nul is nie. Die rede is soos volg:

Gestel jy kies ry 2, met die elemente a₂₁, a₂₂, en a₂₃. Om hierdie probleem op te los kyk ons na drie verskillende 2x2-matrikse. Gestel ons noem dit A₂₁, a₂₂ en A₂₃.
Die determinant van die 3x3-matriks is a₂₁|A₂₁| - a₂₂|A₂₂| + a₂₃|A₂₃|.
Indien die bepalings a₂₂ en a₂₃ is albei 0, dan word ons formule₂₁|A₂₁| - 0*|A₂₂| + 0*|A₂₃| = a₂₁|A₂₁| - 0 + 0 = a₂₁|A₂₁|. Nou moet ons net die kofaktor van `n enkele element bereken.

Prent getiteld Vind die Determinant van `n 3X3-matriks Stap 11

2. Voeg die rye bymekaar om die matriks te vereenvoudig. As jy die waardes van een ry neem en dit by `n ander ry voeg, sal die determinant van die matriks nie verander nie. Dieselfde geld vir kolomme. Jy kan dit herhaaldelik doen - of die waardes vermenigvuldig met `n konstante voordat jy optel - om soveel nulle as moontlik in die matriks te kry. Dit kan jou baie werk bespaar.

Gestel jy het byvoorbeeld `n 3x3 matriks:

(\begin{matrix} 9 & - 1 & 2 \\ 3 & 1 & 0 \\ 7 & 5 & - 2 \end{matrix})

${begin{pmatrix}9&-1&2\3&1&0\7&5&-2end{pmatrix}}$

Elke 9 in posisie a₁₁ om daarvan ontslae te raak, kan ons die tweede ry met -3 vermenigvuldig en die resultaat by die eerste een tel. Die nuwe eerste ry word dan [9 -1 2] + [-9 -3 0] = [0 -4 2].

Die nuwe matriks is

(\begin{matrix} 0 & - 4 & 2 \\ 3 & 1 & 0 \\ 7 & 5 & - 2 \end{matrix})

${begin{pmatrix}0&-4&2\3&1&0\7&5&-2end{pmatrix}}$ Probeer om dieselfde truuk vir die kolomme te gebruik, om₁₂ om `n 0 te maak.

Prent getiteld Vind die Determinant van `n 3X3-matriks Stap 12

3. Leer die truuk om driehoekmatrikse op te los. In hierdie spesiale gevalle is die determinant bloot die produk van die elemente langs die hoofdiagonaal, vanaf a₁₁ links bo na `n₃₃ onder regs. Ons praat steeds van 3x3-matrikse, maar `driehoekige` matrikse het spesiale waardepatrone wat nie nul nie is:

Boonste driehoekmatriks: Alle nie-nul elemente is op of bo die hoofhoeklyn. Alle waardes hieronder is nul.

Onderste driehoekmatriks: Alle nie-nul elemente is op of onder die hoof diagonaal.

Diagonale matriks: Alle nie-nul elemente is op die hoof diagonaal. (`n Subset van bogenoemde.)

Wenke

Hierdie metode kan gebruik word vir vierkante matrikse van enige grootte. Byvoorbeeld, as jy dit gebruik vir `n 4x4 matriks, dan hou jy na die "krap uit" `n 3x3-matriks, waarvoor jy die determinant kan bereken soos hierbo aangedui. Wees gewaarsku, want om dit met die hand te doen, sal baie vervelig wees!
As alle elemente van `n ry of kolom gelyk is aan 0, dan is die determinant van daardie matriks gelyk aan 0.