Transponeer 'n matriks: 11 stappe (met prente)

Inhoud

Trappe
Wenke

`n Matrikstransposisie is `n nuttige wiskundige hulpmiddel om die struktuur van matrikse te verstaan. Funksies wat jy dalk reeds van matrikse ken, soos vierkant en simmetrie, beïnvloed die transposisieresultate op `n duidelike manier. Transposisie dien ook om vektore as matrikse uit te druk, of om die produkte van vektore te bereken. Wanneer jy met komplekse matrikse te doen het, sal die nou verwante konsep van `n gekonjugeerde transposisie jou help met baie probleme.

Trappe

Deel1 van 3: Transponeer `n matriks

Prent getiteld Transponeer `n matriks Stap 1

1. Begin met enige matriks. Jy kan enige matriks transponeer, ongeag die aantal rye en kolomme. Vierkantige matrikse, met `n gelyke aantal rye en kolomme, word die meeste getransponeer, so ons sal `n eenvoudige vierkantige matriks as `n voorbeeld gebruik:

matriks a =
1 2 3
4 5 6
7 8 9

Prent getiteld Transponeer `n matriks Stap 2

2. Maak die eerste ry van die matriks die eerste kolom van die transposisie. Herskryf ry een van die matriks as `n kolom:

Transposisie van matriks A = A

Eerste kolom van A:
1
2
3

Prent getiteld Transponeer `n matriks Stap 3

3. Herhaal vir die oorblywende rye. Die tweede ry van die oorspronklike matriks word die tweede kolom van die transposisie. Herhaal hierdie patroon totdat jy elke ry in `n kolom verander het:

a =
1 4 7
2 5 8
3 6 9

Prent getiteld Transponeer `n matriks Stap 4

4. Oefen op `n nie-vierkantige matriks. Die transposisie is presies dieselfde vir `n nie-vierkantige matriks. Jy herskryf die eerste ry as die eerste kolom, die tweede ry as die tweede kolom, ensovoorts. Hier is `n kleurgekodeerde voorbeeld om jou te wys waar die elemente eindig:

matriks Z =
4 7 2 1
3 9 8 6

matriks Z =
4 3
7 9
2 8
1 6

Prent getiteld Transponeer `n matriks Stap 5

5. Druk die transposisie wiskundig uit. Die konsep is redelik eenvoudig, maar dit is goed om dit in wiskundige terme te kan beskryf. Geen jargon is nodig buite basiese matriksnotasie nie:

As matriks B a is m X n matriks (m rye en n kolomme), dan is die getransponeerde matriks B a n X m matriks (n rye en m kolomme).

Vir elke element b_xy (X-die, y-die kolom) in B, die matriks B het `n gelyke element op b_yx (y-die ry, X-die kolom).

Deel 2 van 3: Spesiale gevalle

Prent getiteld Transponeer `n matriks Stap 6

1. (M = M. Die transposisie van `n transposisie is die oorspronklike matriks. Dit maak baie sin, aangesien jy net die rye en kolomme omruil. Om hulle weer te ruil, sal jou terugneem na die begin.

Prent getiteld Transponeer `n matriks Stap 7

2. Kantel vierkantige matrikse oor die hoofhoeklyn. In `n vierkantige matriks sal `n transposisie die matriks langs die hoofdiagonaal `kantel`. Met ander woorde, die elemente in `n diagonale lyn van element a₁₁ na die onderste regterhoek bly dieselfde. Die ander elemente sal oor die diagonaal beweeg en op dieselfde afstand van die diagonaal eindig, aan die teenoorgestelde kant.

As jy dit nie kan visualiseer nie, teken `n 4x4-matriks op `n stuk papier. Vou nou oor die hoofskuinslyn. Sien jy hoe elemente a₁₄ en a₄₁ aan mekaar raak? Hulle ruil plekke in die transposisie, net soos enige ander paar wat aan mekaar raak wanneer dit gevou word.

Prent getiteld Transponeer `n matriks Stap 8

3. Transponeer `n simmetriese matriks. ’n Simmetriese matriks is simmetries oor die hoofhoeklyn. As ons die `kantel` of `vou` gebruik soos hierbo beskryf, kan ons dadelik sien dat niks verander nie. Alle elementpare wat plekke ruil was reeds identies. Trouens, dit is die standaard manier om `n simmetriese matriks te definieer. As matriks A = A, dan is matriks A simmetries.

Deel 3 van 3: Gekonjugeerde transposisie van `n komplekse matriks

Prent getiteld Transponeer `n matriks Stap 9

1. Begin met `n komplekse matriks. Komplekse matrikse het elemente met `n werklike en denkbeeldige komponent. Alhoewel jy `n gereelde transposisie van hierdie matrikse kan neem, is die meeste praktiese berekeninge eerder gekonjugeerde transposisies.

Matriks C =
2+i 3-2i
0+i 5+0i

Prent getiteld Transponeer `n matriks Stap 10

2. Neem die komplekse vervoeging. Die komplekse vervoeging verander die teken van die denkbeeldige komponente, sonder om die werklike komponente te verander. Voer hierdie bewerking uit vir alle elemente van die matriks.

Komplekse vervoeging van C =
2-i 3+2i
0-i 5-0i

Prent getiteld Transponeer `n matriks Stap 11

3. Transponeer die resultate. Neem `n gewone omskakeling van die resultaat. Die matriks waarmee jy eindig, is die gekonjugeerde transposisie van die oorspronklike matriks.

Gekonjugeerde transposisie van C = C =
2-i 0-i
3+2i 5-0i

Wenke

Hierdie artikel gebruik die notasie A om die omskakeling van matriks A aan te dui. Die notasie A` of Ã beteken dieselfde.
Hierdie artikel verwys na die gekonjugeerde omskakeling van matriks A as A, die mees algemene notasie in lineêre algebra. Kwantumfisici gebruik dikwels A eerder. A* is `n ander opsie, maar probeer om dit te vermy aangesien sommige bronne hierdie simbool sal gebruik om `n komplekse vervoeging aan te dui.