Vind die inverse van 'n kwadratiese vergelyking

Inverse funksies kan baie nuttig wees om baie wiskundeprobleme op te los. Om `n funksie te neem en die omgekeerde funksie daarvan te vind, is `n kragtige hulpmiddel. Met kwadratiese vergelykings kan dit egter nogal `n ingewikkelde proses wees. Eerstens moet jy die vergelyking noukeurig definieer deur `n toepaslike domein en reeks te bepaal. Jy het dan `n keuse van drie metodes om die inverse funksie te bereken. Die keuse van metode is hoofsaaklik `n kwessie van persoonlike voorkeur.

Trappe

Metode 1 van 3: Vind die inverse van `n eenvoudige funksie

1. Vind `n funksie in die vorm van $$y=aX2+c{displaystyle y=ax^{2}+c}. As jy die `regte` soort funksie het om mee te begin, kan jy die inverse vind met een of ander eenvoudige algebra. Hierdie vorm is `n soort variasie op $y=a{X}^{}$. As jy dit vergelyk met `n standaard kwadratiese funksie, $y=a{X}^{}$, sien dat die middeltermyn $bX$ is weg. Nog `n manier om dit te sê is dat die waarde van b nul is. As jou funksie hierdie vorm het, is dit redelik maklik om die inverse te vind.

• Jou aanvanklike funksie hoef nie presies so te lyk nie $y=a{X}^{}$. Solank jy daarna kan kyk en sien dat die funksie net bestaan ​​uit $X^{}$ terme en konstante getalle, sal jy hierdie metode kan gebruik.
• Gestel jy begin met die vergelyking $2y-6+X^{}$. `n Vinnige ondersoek van hierdie vergelyking toon dat daar geen terme van $X$ om tot die eerste mag te wees. Hierdie vergelyking is `n kandidaat vir hierdie metode om `n inverse funksie te vind.

2. Vereenvoudig deur soortgelyke terme te kombineer. Die aanvanklike vergelyking kan veelvuldige terme hê in `n kombinasie van optelling en aftrekking. Jou eerste stap is om soortgelyke terme te kombineer om die vergelyking te vereenvoudig en dit in die standaardformaat te herskryf $y=a{X}^{}$.

Neem die voorbeeld vergelyking $2y-6+X^{}$, waar die y-terme na links geskuif kan word deur `n y van beide kante af te trek. Die ander terme kan na die regterkant geskuif word deur 6 aan beide kante by te voeg en $X^{}$ van beide kante af te trek. Die gevolglike vergelyking is $y=2X^{}$.

Kyk na die voorbeeldvergelyking $y=2X^{}$. Daar is geen beperking op die toegelate waardes van x vir hierdie vergelyking nie. Jy moet egter besef dat dit die vergelyking van `n parabool is, met x=0 as middelpunt, en `n parabool is nie `n funksie nie, want dit is nie `n een-tot-een vergelyking van x- en y-waardes. Om hierdie vergelyking te beperk en dit `n funksie te maak waarvoor ons `n inverse kan vind, moet ons die domein as x≥0 definieer.

Die reeks is op dieselfde manier beperk. Let daarop dat die eerste kwartaal, $2X^{}$, sal altyd positief of 0 wees, vir enige waarde van x. As die vergelyking dan +2 byvoeg, sal die reeks enige waarde y≥2 wees.

Werk met die voorbeeldvergelyking $y=2X^{}$, hierdie inversiestap sal lei tot die nuwe vergelyking van $X=2y^{}$.

`n Alternatiewe formaat is om die y-terme met x te vervang, maar die x-terme met een van die twee te vervang $y^{}$ of $f(X{)}^{}$ om die inverse funksie aan te dui.

5. Herskryf die omgekeerde vergelyking in terme van y. Deur `n kombinasie van algebraïese stappe te gebruik en seker te maak dat dieselfde bewerking aan beide kante van die vergelyking uitgevoer word, sal jy die veranderlike y moet isoleer. Vir die vergelyking $X=2y^{}$, hierdie hersiening lyk soos volg:

$X=2y^{}$ (oorspronklike uitgangspunt)

$X-2=2y^{}$ (trek 2 van beide kante af)

$$ (deel beide kante deur 2)

±$$ (vierkantswortel van beide kante; onthou dat die vierkantswortel beide positiewe en negatiewe moontlike antwoorde tot gevolg het)

Sien die oplossing van die voorbeeldvergelyking ±$$. Aangesien die vierkantswortelfunksie nie vir negatiewe waardes gedefinieer is nie, moet die term . wees $$ wees altyd positief. Daarom moet die toegelate waardes van x (die domein) x≥2 wees. Met dit as die domein, is die resulterende waardes van y (die reeks) óf alle waardes y≥0, as jy die positiewe oplossing van die vierkantswortel neem, of y≤0, as jy die negatiewe oplossing van neem die vierkantswortel. Let daarop dat om die inverse funksie te vind, jy oorspronklik die domein as x≥0 gedefinieer het. Daarom is die korrekte oplossing vir die inverse funksie die positiewe opsie.

Vergelyk die domein en omvang van die inverse met die domein en omvang van die oorspronklike. Onthou dit vir die oorspronklike funksie, $y=2X^{}$, die domein is gedefinieer as alle waardes van x≥0, en die reeks is gedefinieer as alle waardes van y≥2. Vir die omgekeerde funksie, ruil hierdie waardes nou om, en die domein is alle waardes van x≥2, en die reeks is alle waardes van y≥0.

As `n voorbeeld, kies die waarde x=1 vir die oorspronklike vergelyking $y=2X^{}$. Dit gee die resultaat y=4.

Dan plaas jy die waarde 4 in die inverse funksie $$. Dit gee inderdaad die resultaat y=1. Jy kan aflei dat jou inverse funksie korrek is.

Metode 2 van 3: Voltooi die vierkant om die inverse funksie te vind

1. Gee die kwadratiese vergelyking die korrekte vorm. Om die inverse te vind, moet jy met die vergelyking van die vorm begin $f\left(X\right)=a{X}^{}$. Indien nodig, moet jy soortgelyke terme kombineer om die vergelyking in hierdie formaat te kry. Met die vergelyking wat so geskryf is, kan jy `n bietjie meer daaroor vertel.

• Die eerste ding wat jy sal opmerk is die waarde van die koëffisiënt a. As `n>0, dan definieer die vergelyking `n parabool waarvan die punte opwaarts wys (vallei-parabool). As `n<0, dan definieer die vergelyking `n parabool waarvan die punte afwaarts wys (bergparabool). Let daarop dat a≠0. As dit nie was nie, sou dit `n lineêre funksie wees en nie `n kwadratiese nie.

2. Herken die standaardformaat van die kwadratiese. Voordat jy die inverse funksie kan vind, moet jy die vergelyking in die standaardformaat herskryf. Die standaardformaat vir `n kwadratiese funksie is $f\left(X\right)=a(X-h{)}^{}$. Die numeriese terme a, h en k sal geëvalueer word as jy die vergelyking transformeer deur die vierkant te bereken.

Let daarop dat hierdie standaardvorm uit `n perfekte kwadratiese term bestaan, $(X-h{)}^{}$, wat dan deur die ander twee elemente a en k verander word. Om by hierdie perfekte kwadratiese vorm uit te kom, sal jy sekere voorwaardes in jou kwadratiese vergelyking moet skep.

3. Dink terug aan die vorm van `n perfekte kwadratiese funksie. Onthou dat `n kwadratiese funksie wat `n perfekte vierkant is, ontstaan ​​uit twee binomiale van $(X+b)(X+b)$, of $(X+b{)}^{}$. As jy hierdie vermenigvuldiging doen, kry jy $X^{}$. So die eerste term van die kwadratiese is die eerste term van die binomiaal, kwadraat, en die laaste term van die kwadratiese is die kwadraat van die tweede term van die binomiaal. Die middelterm bestaan ​​uit twee keer die produk van die twee terme, in hierdie geval $2*X*b$.

Om die vierkant te voltooi, werk omgekeerd. Jy begin met $X^{}$ en `n tweede x-termyn. Van die koëffisiënt van daardie term, wat jy as `2b` kan definieer, moet jy kry $b^{}$ sien om te vind. Dit vereis `n kombinasie van deling deur twee en dan die resultaat kwadraat.

4. Maak seker dat die koëffisiënt van $$X2{displaystyle x^{2}} 1 is. Onthou jy die oorspronklike vorm van die kwadratiese funksie $a{X}^{}$. As die eerste koëffisiënt enigiets anders as 1 is, moet jy alle terme deur daardie waarde deel om a=1 te kry.

Neem byvoorbeeld die kwadratiese funksie $f\left(X\right)=2X^{}$. Jy kan dit vereenvoudig deur alle terme deur 2 te deel om die resulterende funksie te kry $f\left(X\right)=2(X^{}$ om te kry. Die koëffisiënt 2 bly buite die hakies en sal deel wees van jou finale oplossing.

As alle terme nie veelvoude van a is nie, kry jy breukkoëffisiënte. Byvoorbeeld: die funksie $f\left(X\right)=3X^{}$ sal vereenvoudig word om $f\left(X\right)=3(X^{}$. Werk die breuke versigtig uit.

5. Vind die helfte van die middelste koëffisiënt en vierkant dit. Jy het reeds die eerste twee terme van die kwadratiese formule. Dit is die term $X^{}$ en die koëffisiënt wat die x-term verteenwoordig. Deur daardie koëffisiënt te neem as die waarde wat dit het, kan jy die getal wat nodig is om `n perfekte vierkant te maak, optel of aftrek. Onthou van bo af dat die vereiste derde term van die vierkant hierdie tweede koëffisiënt is gedeel deur twee, en dan kwadraat.

Byvoorbeeld, as die eerste twee terme van jou kwadratiese funksie $X^{}$ jy vind die nodige derde term deur 3 deur 2 (of 3/2) te deel en dit dan te kwadraat, om 9/4 te kry. Die kwadratiese $X^{}$ is `n perfekte vierkant.

Nog `n voorbeeld: veronderstel die eerste twee terme $X^{}$ is. Die helfte van die middelterm is -2, en dan vier jy dit om 4 te kry. Die gevolglike perfekte vierkant is $X^{}$.

Gestel jy het die funksie $f\left(X\right)=X^{}$. Soos hierbo genoem, gebruik jy die eerste twee terme om die vierkant te voltooi. Deur die middelterm van -4x te gebruik, genereer jy `n derde term +4. Tel 4 by en trek 4 af van die vergelyking, in die vorm $f\left(X\right)=(X^{}$. Die hakies word slegs geplaas om die kwadratiese vergelyking wat jy maak, te definieer. Let op die +4 binne die hakies en die -4 aan die buitekant. Vereenvoudig die getalle tot die resultaat $f\left(X\right)=(X^{}$.

7. Faktoreer die kwadratiese vergelyking. Die polinoom tussen hakies is `n kwadratiese vergelyking, wat jy kan herskryf as $(X+b{)}^{}$. In die voorbeeld van die vorige stap ($f\left(X\right)=(X^{}$) jy faktoreer die kwadratiese faktor in $(X-2{)}^{}$. Kopieer die res van die vergelyking sodat jou oplossing $f\left(X\right)=(X-2{)}^{}$ word. Dit is dieselfde funksie as jou oorspronklike kwadratiese vergelyking ($f\left(X\right)=X^{}$), herskryf as die standaardvorm $f\left(X\right)=a(X-h{)}^{}$.

Gaan voort om met die voorskoufunksie te werk $f\left(X\right)=(X-2{)}^{}$. Aangesien dit in standaardformaat is, kan jy die hoekpunt as x=2, y=5 bepaal. Dus om die simmetrie te vermy, werk jy net met die regterkant van die grafiek, en stel die domein as alle waardes x≥2. Deur die waarde x=2 in die funksie in te voeg, gee dit y=5. Jy kan sien dat die waardes van y sal toeneem soos x toeneem. Daarom is die omvang van hierdie vergelyking y≥5.

Gaan voort om met die funksie te werk $f\left(X\right)=(X-2{)}^{}$. Voeg x in die plek van f(x), en voeg y (of f(x), as jy verkies) in in die plek van x. Dit gee as `n nuwe funksie $X=(y-2{)}^{}$.

10. Herskryf die omgekeerde vergelyking in terme van y. Gebruik `n kombinasie van algebraïese stappe, maak seker dat jy dieselfde bewerking eweredig aan beide kante van die vergelyking uitvoer, isoleer die veranderlike y. Vir die werkvergelyking $X=(y-2{)}^{}$ hierdie hersiening lyk soos volg:

$X=(y-2{)}^{}$ (oorspronklike beginpunt)

$X-5=(y-2{)}^{}$ (trek 5 van beide kante af)

±$$ (vierkantswortel van beide kante; onthou dat die vierkantswortel beide positiewe en negatiewe moontlike antwoorde lewer)

±$$ (voeg 2 by aan beide kante)

Sien die oplossing van die voorbeeldvergelyking ±$$. Aangesien die vierkantswortelfunksie nie vir negatiewe waardes gedefinieer is nie, moet die term . wees $$ wees altyd positief. Daarom moet die toegelate waardes van x (die domein) x≥5 wees. Met dit as die domein, is die resulterende waardes van y (die reeks) óf alle waardes y≥2 (as jy die positiewe oplossing van die vierkantswortel neem), óf y≤2 (as jy die negatiewe oplossing kies van die vierkantswortel). Onthou dat jy oorspronklik die domein as x≥2 gedefinieer het, om die inverse funksie te vind. Daarom is die korrekte oplossing vir die inverse funksie die positiewe opsie.

As `n voorbeeld, kies die waarde x=3 om in die oorspronklike vergelyking in te sluit $f\left(X\right)=X^{}$ te verwerk. Dit gee die resultaat y=6.

Dan verwerk jy y=6 in die inverse funksie $$. Dit gee y=3 terug, wat die getal is waarmee jy begin het. Jy kan aflei dat jou inverse funksie korrek is.

Metode 3 van 3: Gebruik die vierkantige formule

2. Begin met `n kwadratiese vergelyking om die inverse te vind. Jou kwadratiese vergelyking moet in die formaat begin $f\left(X\right)=a{X}^{}$. Neem die algebraïese stappe wat nodig is om jou vergelyking in daardie vorm te kry.

Vir hierdie afdeling van hierdie artikel sal jy die voorbeeldvergelyking gebruik $f\left(X\right)=X^{}$.

Gebaseer op die werkvergelyking $f\left(X\right)=X^{}$, gee dit die resultaat $X=y^{}$.

Vir die voorbeeldvergelyking, om die linkerkant gelyk aan nul te kry, moet jy x van albei kante van die vergelyking aftrek. Dit gee die resultaat $0=y^{}$.

6. Herdefinieer die veranderlikes om by die vierkantsformule te pas. Hierdie stap is `n bietjie moeilik. Weet dat die vierkantsformule vir x in die vergelyking oplos $0=a{X}^{}$. So, vir die vergelyking wat jy nou het, $0=y^{}$, om aan daardie klassifikasie te voldoen, moet jy die terme soos volg herdefinieer:

Verlaat $y^{}$. Dus, x=1

Verlaat $2y=bX$. Dus, b=2

Verlaat $(-3-X)=c$. Dus, c=(-3-x)

$f^{}$

$f^{}$

9. Bepaal die domein en omvang van die inverse funksie. Let daarop dat die domein x≥-4 moet wees om die vierkantswortel te definieer. Onthou dat die domein van die oorspronklike funksie x≤-1 was en die reeks was y≥-4. Om die inverse funksie te kies wat ooreenstem, benodig jy die tweede oplossing, $f^{}$ kies as die korrekte inverse funksie.

Aanvaar die oorspronklike funksie $f\left(X\right)=X^{}$, kies jou x=-2. Dit gee y=-3 terug. Vervang nou die waarde van x=-3 in die inverse funksie, $f^{}$. Dit gee -2 terug, wat inderdaad die waarde is waarmee jy begin het. So jou definisie van die inverse funksie is korrek.

Artikels oor die onderwerp "Vind die inverse van 'n kwadratiese vergelyking"

Vind die uiterste waarde van 'n vergelyking

Vind die snypunt van 'n vergelyking met die y-as

Vind die inverse van 'n funksie

Vind die vergelyking van 'n raaklyn