Verifieer die onsekerheidsbeginsel vir 'n kwantumharmoniese ossillator

Inhoud

Trappe
Wenke

Die kwantumharmoniese ossillator is die kwantumanalogie van die klassieke eenvoudige harmoniese ossillator. Deur die grondtoestandoplossing te gebruik, neem ons die posisie en verwagte impulswaardes in en kontroleer die onsekerheidsbeginsel daarmee.

Trappe

Deel 1 van 3: `n Grondtoestandoplossing

1. Onthou die Schrödinger-vergelyking. Hierdie gedeeltelike differensiaalvergelyking is die fundamentele bewegingsvergelyking binne kwantummeganika, wat beskryf hoe `n kwantumtoestand

ψ

$psi$ ontwikkel met verloop van tyd.

\hat{huh}

${hat{H}}$ dui die Hamiltoniaan aan, die energieoperateur wat die totale energie van `n sisteem beskryf.

$i ℏ \partial ψ \partial t = \hat{huh} ψ$ $ihbar {frac{partial psi }{partial t}}={hat{H}}psi$

2. Skryf die Hamiltoniaan vir die harmoniese ossillator uit. Alhoewel die posisie- en momentumveranderlikes deur hul ooreenstemmende operateurs vervang is, lyk die uitdrukking steeds soos dié van die kinetiese en potensiële energie van `n klassieke harmoniese ossillator. Aangesien ons in fisiese ruimte werk, word die operateurposisie gegee deur

\hat{X} = X,

${hat{x}}=x,$ terwyl die impulsoperateur gegee word deur

\hat{bl} = - i ℏ \partial \partial X .

${hat{p}}=-ihbar {frac{partial }{partial x}}$

\hat{huh} = \hat{bl} 2 2 m + \frac{1}{2} m Ω^{2}^{\hat{X} 2}

${hat{H}}={frac{{hat{p}}^{{2}}}{2m}}+{frac{1}{2}}momega ^{{2}} {hat{x}}^{{2}}$

3. Skryf die tydonafhanklike Schrödinger-vergelyking neer. Ons sien dat die Hamiltoniaan nie eksplisiet van tyd afhanklik is nie, dus sal die oplossings van die vergelyking onveranderlike toestande wees. Die tydonafhanklike Schrödinger-vergelyking is `n vergelyking van die eiewaarde, so om dit op te los beteken dat ons die energie-eiewaardes en hul ooreenstemmende eiefunksies vind -- die golffunksies --.

- ℏ 2 2 m d 2 ψ d X^{2} + \frac{1}{2} m Ω^{2} X^{2} ψ = E ψ

$-{frac{hbar ^{{2}}}{2m}}{frac{{mathrm{d}}^{{2}}psi }{{mathrm{d}}x^{{ 2}}}}+{frac{1}{2}}momega ^{{2}}x^{{2}}psi =Epsi$

4. Los die differensiaalvergelyking op. Hierdie differensiaalvergelyking het veranderlike koëffisiënte en kan nie maklik met eenvoudige metodes opgelos word nie. Na normalisering kan die grondtoestandoplossing egter soos volg geskryf word:. Onthou dat hierdie oplossing slegs `n eendimensionele ossillator beskryf.

ψ (X) = (m Ω π ℏ) 1 / 4 \exp (- m Ω 2 ℏ X^{2})

$psi (x)=left({frac{momega }{pi hbar }}right)^{{1/4}}exp left(-{frac{momega }{ 2hbar }}x^{{2}}regs)$

Dit is `n Gauss, gesentreer op

X = 0.

$x=0$ Ons maak gebruik van die feit dat hierdie funksie selfs is om ons berekeninge in die volgende deel te vereenvoudig.

Deel 2 van 3: Verwagtingswaardes

1. Onthou die formule vir onsekerheid. Die onsekerheid van `n waarneembare waarde soos `n posisie is wiskundig gelyk aan die standaardafwyking. Dit wil sê, ons bepaal die gemiddelde waarde, trek elke waarde van die gemiddelde af, kwadraat daardie waardes en bereken die gemiddelde, en trek dan die vierkantswortel van die resultaat af.

$Σ X = \sqrt{seks X} 2 seks - seks X {seks}^{2}$ $sigma _{{x}}={sqrt{langle x^{{2}}rangle -langle xrangle ^{{2}}}}$

2. Bepaal seksXseks{displaystyle langle xrangle } $langle xrangle$ . Aangesien die funksie ewe is, kan ons uit die simmetrie aflei dat

seks X seks = 0.

$lang xrangle =0$

As jy die integraal wat jy moes evalueer uitskryf, sien jy dat die integrand `n onewe funksie is, want `n onewe funksie maal `n ewe funksie is onewe.

seks X seks = \int - \infty \infty X | ψ (X) |^{2} d X

$langle xrangle =int _{{-infty }}^{{infty }}x|psi (x)|^{{2}}{mathrm{d}}x$

Een eienskap van `n onewe funksie is dat daar vir elke positiewe waarde van die funksie `n dubbelganger is - `n geassosieerde negatiewe waarde - wat die funksie kanselleer. Aangesien ons alle waardes van

X

$X$ evalueer, weet ons dat die integraal 0 word, sonder om die berekeninge te doen.

3. bereken seksX2seks{displaystyle langle x^{2}rangle } $langle x^{{2}}rangle$ . Aangesien ons oplossing as `n deurlopende golffunksie geskryf is, gebruik ons die integraal hieronder. Die integraal beskryf die verwagte waarde vir

X 2

$x^{{2}}$ , geïntegreer oor die hele ruimte.

seks X 2 seks = \int_{- \infty}^{\infty} X^{2} | ψ (X) |^{2} d X

$langle x^{{2}}rangle =int _{{-infty }}^{{infty }}x^{{2}}|psi (x)|^{{2}}{ mathrm{d}}x$

4. Vervang die golffunksie in die integraal en vereenvoudig. Ons weet dat die golffunksie gelyk is. Die kwadraat van `n ewe funksie is ook ewe, dus kan ons `n faktor van 2 buite die hakies neem en die ondergrens verlaag na 0.

seks X 2 seks = 2 (^{m Ω π ℏ) 1 / 2} \int_{0}^{\infty} X^{2} \exp (- m Ω ℏ X^{2}) d X

$langle x^{{2}}rangle =2left({frac{momega }{pi hbar }}right)^{{1/2}}int _{{0}} ^{{infty }}x^{{2}}exp left(-{frac{momega }{hbar }}x^{{2}}right){mathrm{d}} X$

5. Evalueer. Wees die eerste om

α = m Ω ℏ .

$alpha ={frac{momega }{hbar }}$ Dan integreer ons nie per deel nie, maar ons gebruik die gamma-funksie.

\begin{matrix} seks X \end{matrix} 2 seks = 2 (^{m Ω π ℏ) 1 / 2} \int_{0}^{\infty} X^{2} e^{- α} X^{2} d X, jy = α X^{2} = 2 (^{m Ω π ℏ) 1 / 2} \int_{0}^{\infty} \frac{jy}{α} e^{- jy} d jy 1 2 α X, X = \sqrt{\frac{jy}{α}} = (^{m Ω π ℏ) 1 / 2} α^{- 3 / 2} \int_{0}^{\infty} {jy}^{1 / 2} e^{- jy} d jy = (^{m Ω π ℏ) 1 / 2} (^{m Ω ℏ) - 3 / 2} Γ (\frac{3}{2}), Γ (\frac{3}{2}) = \frac{\sqrt{π}}{2} = ℏ m Ω \frac{1}{\sqrt{π}} \frac{\sqrt{π}}{2} = ℏ 2 m Ω

${begin{belyn}langle x^{{2}}rangle &=2left({frac{momega }{pi hbar }}right)^{{1/2}} int _{{0}}^{{infty }}x^{{2}}e^{{-alpha x^{{2}}}}{mathrm{d}}x, u =alpha x^{{2}}\&=2left({frac{momega }{pi hbar }}right)^{{1/2}}int _{{ 0}}^{{infty }}{frac{u}{alpha }}e^{{-u}}{mathrm{d}}u{frac{1}{2alpha x}} , x={sqrt{{frac{u}{alpha }}}}\&=left({frac{momega }{pi hbar }}right)^{ {1/2}}alpha ^{{-3/2}}int _{{0}}^{{infty }}u^{{1/2}}e^{{-u}}{ mathrm{d}}u\&=left({frac{momega }{pi hbar }}right)^{{1/2}}left({frac{m omega }{hbar }}right)^{{-3/2}}Gamma left({frac{3}{2}}right), \Gamma left({frac{3 }{2}}right)={frac{{sqrt{pi }}}{2}}\&={frac{hbar }{momega }}{frac{1} {{sqrt{pi }}}}{frac{{sqrt{pi }}}{2}}\&={frac{hbar }{2momega }}end{belyn }}$

6. Kom by die onsekerheid in posisie. Deur die verhouding te gebruik wat ons in Stap 1 van hierdie afdeling uitgewerk het, volg dit

Σ X

$sigma _{{x}}$ onmiddellik van ons resultate.

Σ X = \sqrt{ℏ} 2 m Ω

$sigma _{{x}}={sqrt{{frac{hbar }{2momega }}}}$

7. Bepaal seksblseks{displaystyle langle prangle } $lang prangle$ . Soos met die gemiddelde posisie, kan `n simmetrie-argument gemaak word, wat lei tot

seks bl seks = 0.

$langprangle =0$ .

8. bereken seksbl2seks{displaystyle langle p^{2}rangle } $langle p^{{2}}rangle$ . In plaas daarvan om die golffunksie direk toe te pas om hierdie verwagtingswaarde te bereken, kan ons die energie van die golffunksie gebruik om die nodige berekeninge te vereenvoudig. Die grondtoestandenergie van die harmoniese ossillator word hieronder gegee.

E 0 = \frac{1}{2} ℏ Ω

$E_{{0}}={frac{1}{2}}hbar omega$

9. Bring die energie van die grondtoestand in verband met die kinetiese en potensiële energie van die deeltjie. Daar word verwag dat hierdie verband nie net geldig is vir elke posisie en impuls nie, maar ook vir hul verwagtingswaardes.

\frac{1}{2} ℏ Ω = seks bl 2 seks 2 m + \frac{1}{2} m Ω^{2} seks X^{2} seks

${frac{1}{2}}hbar omega ={frac{langle p^{{2}}rangle }{2m}}+{frac{1}{2}}momega ^ {{2}}langle x^{{2}}rangle$

10. Los op vir seksbl2seks{displaystyle langle p^{2}rangle } $langle p^{{2}}rangle$ .

m ℏ Ω = seks bl 2 seks + m^{2} Ω^{2} ℏ 2 m Ω

$mhbar omega =langle p^{{2}}rangle +m^{{2}}omega ^{{2}}{frac{hbar }{2momega }}$

seks bl 2 seks = m ℏ Ω 2

$langle p^{{2}}rangle ={frac{mhbar omega }{2}}$

11. Kom by die onsekerheid in die dinamika.

Σ bl = \sqrt{} m ℏ Ω 2

$sigma _{{p}}={sqrt{{frac{mhbar omega }{2}}}}$

Deel 3 van 3: Verifiëring van die onsekerheidsverwantskap

1. Oorweeg Heisenberg se onsekerheidsbeginsel vir posisie en momentum. Die onsekerheidsverhouding is `n fundamentele beperking op die akkuraatheid waarmee ons sekere pare waarneembare data, soos posisie en momentum, kan meet. Kyk na die wenke vir meer agtergrond oor die onsekerheidsbeginsel.

$Σ X Σ_{bl} \geq \frac{ℏ}{2}$ $sigma _{{x}}sigma _{{p}}geq {frac{hbar }{2}}$

2. Vervang die onsekerhede van die kwantumharmoniese ossillator.

\begin{matrix}  \end{matrix} \sqrt{ℏ} 2 m Ω \sqrt{} m ℏ Ω 2 \geq \frac{ℏ}{2} \frac{ℏ}{2} & \geq \frac{ℏ}{2}

${begin{belyn}{sqrt{{frac{hbar }{2momega }}}}{sqrt{{frac{mhbar omega }{2}}}}&geq { frac{hbar }{2}}\{frac{hbar }{2}}&geq {frac{hbar }{2}}end{belyn}}$

Ons resultate is in ooreenstemming met die onsekerheidsbeginsel. Trouens, hierdie verhouding bereik slegs grondtoestandgelykheid – as `n hoër energietoestand aanvaar word, neem die onsekerheid van posisie en momentum net toe.

Wenke

Daar is twee maniere waarop ons die vraag kan verduidelik waarom die onsekerheidsverwantskap bestaan.

Vanuit golfmeganika is die uitdrukkings van die golffunksie in terme van posisie en dinamika Fourier-transformasies van mekaar. `n Eienskap van die Fourier-transform is dat `n funksie en sy Fourier-transform nie albei ondubbelsinnig gelokaliseer is nie.
`n Eenvoudige voorbeeld is die Fourier-transform van die reghoekige funksie. Soos die breedte van die funksie afneem (meer gelokaliseer word), dan word die Fourier-transform (`n sinuskurwe) platter en platter. `n Uiterste voorbeeld is die Dirac delta-funksie, waar die breedte oneindig klein is (perfekte ligging). Die Fourier-transform is `n konstante (oneindige onsekerheid).
Die ander manier om daarna te kyk is van matriksmeganika. Die posisie en momentum operateurs het `n nie-nul kommutasie verhouding. As twee operateurs pendel, dan sal hul kommutasieverhouding nul wees, soos aangedui deur die hakies hieronder.

$[\hat{X}, \hat{bl}] = \hat{X} \hat{bl} - \hat{bl} \hat{X} = i ℏ$ $[{hat{x}},{hat{p}}]={hat{x}}{hat{p}}-{hat{p}}{hat{x}}=i hbar$

Dit blyk dat hierdie kommutasieverhouding `n fundamentele onsekerheidsbeginsel moet impliseer. Wanneer `n operateur

\hat{X}

${hat{x}}$ op `n toestand inwerk, dan stort die golffunksie in na die eietoestand van

\hat{X}

${hat{x}}$ met `n unieke maatstaf (die eiewaarde). Die eie toestand van

\hat{X}

${hat{x}}$ hoef nie `n eietoestand van `n ander operateur te wees nie

\hat{bl} .

${hat{p}}$ As dit die geval is, dan is daar geen unieke maatstaf vir die waarneembare data nie

bl,

$p,$ wat beteken dat die toestand slegs geskryf kan word as `n lineêre kombinasie van momentum-gebaseerde eietoestande. (Wanneer twee operateurs pendel, het hulle `n gelyktydige stel eietoestande gemeen (ook genoem degenerasie) en die twee waarneembare data kan gelyktydig tot `n arbitrêre akkuraatheid gemeet word. Dit is altyd die geval met klassieke meganika.)

Dit is die bron van die onsekerheidsbeginsel. Dit is nie as gevolg van die beperkings van ons instrumente dat ons nie die posisie en momentum van `n deeltjie met `n arbitrêre akkuraatheid kan meet nie. Dit is eerder `n fundamentele eienskap van die deeltjies self.