Leer om vierkante te verdeel: 8 stappe

Inhoud

Trappe
Wenke

Een van die belangrikste vaardighede vir wiskundestudente is die abc-formule, of $X = - b \pm \sqrt{b} 2 - 4 a c 2 a .$ $x={frac{-bpm {sqrt{b^{{2}}-4ac}}}{2a}}$ Gebruik die abc-formule om `n kwadratiese vergelyking van die vorm op te los $a X 2 + b X + c = 0$ $ax^{{2}}+bx+c=0$ `n eenvoudige kwessie van vervanging van die koëffisiënte $a, b, c$ $ABC$ in die formule. Alhoewel dit vir baie mense genoeg is om net die formule te ken, is dit so te verstaan hoe dit afgelei word (met ander woorde, waar dit vandaan kom) iets heeltemal anders. Die formule word afgelei via `vierkant af` wat ook ander toepassings binne wiskunde het, so dit is wys dat jy vertroud is daarmee.

Trappe

1. Begin met die standaardvorm van `n algemene kwadratiese vergelyking. Alhoewel enige vergelyking met `n term soos

X 2

$x^{{2}}$ in, kwadraties is, stel die standaardvorm alles op nul. Onthou dat

a, b, c

$ABC$ is koëffisiënte wat enige heelgetal kan wees, so nou kan jy nie getalle vir die veranderlikes invul nie - ons wil met die algemene vorm werk.

$a X 2 + b X + c = 0$ $ax^{{2}}+bx+c=0$
Die enigste voorwaarde is dat $a \neq 0$ $`nneq 0$ , anders word die vergelyking na `n lineêre vergelyking vereenvoudig. Kyk of jy algemene oplossings kan vind vir spesiale gevalle waar $b = 0$ $b=0$ en $c = 0$ $c=0$ .

2. trek c{displaystyle c} $c$ van beide kante af. Ons doel is om te isoleer

X

$X$ . Ons begin deur een van die koëffisiënte na die ander kant te skuif sodat die linkerkant slegs uit terme met bestaan

X

$X$ .

a X 2 + b X = - c

$byl^{{2}}+bx=-c$

3. Verdeel beide kante a{displaystyle a} $a$ . Let daarop dat ons dit in die vorige stap kon omgeruil het en steeds dieselfde antwoord kon kry. Onthou dat die verdeling van `n polinoom deur iets behels dat elkeen van sy individuele terme gedeel word. Dit maak dit makliker om die vierkant te verdeel.

X 2 + \frac{b}{a} X = - c a

$x^{{2}}+{frac{b}{a}}x={frac{-c}{a}}$

4.Verdeel die vierkant. Onthou dat die doel is om `n uitdrukking te skep

X 2 + 2 ◻ X + ◻^{2}

$x^{{2}}+2Box x+Box ^{{2}}$ om te herskryf as

(X + ◻) 2,

$(x+Box )^{{2}},$ waardeur

◻

$Boks$ is `n koëffisiënt. Dit is dalk nie dadelik vir jou duidelik nie. Om dit duideliker te maak, herskryf

\frac{b}{a} X

${frac{b}{a}}x$ as

2 b 2 a X

$2{frac{b}{2a}}x$ deur die term te vermenigvuldig met

\frac{2}{2} .

${frac{2}{2}}$ Ons kan dit doen, want vermenigvuldiging met 1 verander niks nie. Ons kan dit nou duidelik in ons geval sien

◻ = b 2 a,

$Box ={frac{b}{2a}},$ , so net die term ontbreek

◻ 2

$Box ^{{2}}$ . Dus, om die vierkant te verdeel, voeg ons dit aan beide kante by - naamlik,

(b 2 a) 2 = b 2 4 a 2 .

$left({frac{b}{2a}}right)^{{2}}={frac{b^{{2}}}{4a^{{2}}}}$ En dan kan ons natuurlik faktoriseer.

\begin{matrix} X \end{matrix} 2 + 2 b 2 a X + b 2 4 a 2 = b 2 4 a 2 - \frac{c}{a} (^{X + b 2 a) 2} & = b 2 4 a 2 - \frac{c}{a}

${begin{belyn}x^{{2}}+2{frac{b}{2a}}x+{frac{b^{{2}}}{4a^{{2}}}}& ={frac{b^{{2}}}{4a^{{2}}}}-{frac{c}{a}}\left(x+{frac{b}{2a}} right)^{{2}}&={frac{b^{{2}}}{4a^{{2}}}}-{frac{c}{a}}end{belyn} }$

Dit is duidelik hier hoekom

a \neq 0

$`nneq 0$ , want

a

$a$ is in die noemer en jy kan nie deur nul deel nie.

As jy nodig het, kan jy die linkerkant verleng om seker te maak dat die vierkant werk.

5. Skryf die regterkant onder `n gemene deler. Ons wil hê dat beide noemers moet wees

4 a 2

$4a^{{2}}$ is, vermenigvuldig dus die term

- c a

${frac{-c}{a}}$ van

4 a 4 a

${frac{4a}{4a}}$ .

\begin{matrix}  \end{matrix} (X + b 2 a) 2 = b 2 4 a 2 - 4 a c 4 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2

${begin{belyn}left(x+{frac{b}{2a}}right)^{{2}}&={frac{b^{{2}}}{4a^{{2 }}}}-{frac{4ac}{4a^{{2}}}}\&={frac{b^{{2}}-4ac}{4a^{{2}}}} end{belyn}}$

6. Bereken die vierkantswortel van beide kante. Dit is egter noodsaaklik dat jy verstaan dat deur dit te doen, jy in wese twee stappe neem. Wanneer jy die vierkantswortel neem van

d 2

$d^{{2}}$ , dan kry jy

d

$d$ nie. Jy kry basies die absolute waarde daarvan,

| d |

$|d|$ . Hierdie absolute waarde is noodsaaklik om albei wortels te kry - om net vierkantswortels bo beide kante te plaas, sal net een van die wortels lewer.

| X + b 2 a | = \sqrt{} b 2 - 4 a c 4 a 2

$left|x+{frac{b}{2a}}right|={sqrt{{frac{b^{{2}}-4ac}{4a^{{2}}}}}}}$

Nou kan ons ontslae raak van die absolute waarde tekens, deur

\pm

$p.m$ regs te plaas. Ons kan dit doen omdat die absolute waarde nie tussen positiewe en negatiewe getalle onderskei nie, dus is hulle albei geldig. Hierdie detail is hoekom die kwadratiese vergelyking dit moontlik maak om twee wortels as gevolg daarvan te kry.

X + b 2 a = \pm \sqrt{} b 2 - 4 a c 4 a 2

$x+{frac{b}{2a}}=pm {sqrt{{frac{b^{{2}}-4ac}{4a^{{2}}}}}}}$

Kom ons vereenvoudig hierdie uitdrukking `n bietjie meer. Aangesien die vierkantswortel van `n kwosiënt die kwosiënt van die vierkantswortels is, kan ons die regterkant skryf as

\pm \sqrt{b} 2 - 4 a c \sqrt{4 a^{2}} .

${frac{pm {sqrt{b^{{2}}-4ac}}}{{sqrt{4a^{{2}}}}}}$ Dan kan ons die vierkantswortel van die noemer neem.

X + b 2 a = \pm \sqrt{b} 2 - 4 a c 2 a

$x+{frac{b}{2a}}={frac{pm {sqrt{b^{{2}}-4ac}}}{2a}}$

7. isoleer X{displaystyle x} $X$ deur af te trek

b2a{displaystyle {frac {b}{2a}}} ${frac{b}{2a}}$ Aan altwee kante.

X = - b 2 a \pm \sqrt{b} 2 - 4 a c 2 a

$x={frac{-b}{2a}}pm {frac{{sqrt{b^{{2}}-4ac}}}{2a}}$

8. Skryf die regterkant onder `n gemene deler. Dit is nie soos die abc-formule nie, die formule vir die oplossing van `n kwadratiese vergelyking in standaardvorm. Dit werk vir enige

a, b, c

$ABC$ en gee

X

$X$ gevolglik, wat `n reële of komplekse getal kan wees. Om te verifieer dat hierdie proses werk, volg eenvoudig die stappe in hierdie artikel in omgekeerde volgorde om terug te keer na die verstekvorm.

X = - b \pm \sqrt{b} 2 - 4 a c 2 a

$x={frac{-bpm {sqrt{b^{{2}}-4ac}}}{2a}}$

Wenke

Dit is interessant om daarop te let dat die abc-formule ook van toepassing is op komplekse koëffisiënte, alhoewel jy `n bietjie meer moet vereenvoudig om die finale antwoord te kry, en die wortels is nie gekonjugeerde pare nie. Probleme met kwadratiese uitdrukkings word egter byna altyd met reële koëffisiënte gegee.

Artikels oor die onderwerp "Leer vierkantsverdeling"

Оцените, пожалуйста статью