Voeg die nommers van 1 tot N by: 7 stappe (met prente)

Inhoud

Trappe
- Metode 1 van 1:Deel twee: Gebruik die som van 1 tot N om die som van twee heelgetalle te vind
Wenke
Waarskuwings

Heelgetalle is heelgetalle sonder breuke of desimale. As `n wiskundeprobleem vereis dat jy `n aantal heelgetalle van 1 tot `n gegewe waarde N moet optel, is dit nie nodig om elke waarde met die hand op te tel nie. Gebruik eerder die vergelyking om tyd en moeite te bespaar (N(N + 1)) / 2, waar N die hoogste getal in die reeks verteenwoordig.

Trappe

Prent getiteld Som die heelgetalle van 1 tot N Stap 1

1. Definieer die grootste heelgetal as N. Wanneer heelgetalle vanaf 1 by `n gegewe getal getel word N, jy moet N self as `n positiewe heelgetal definieer. N is `n heelgetal en kan dus nie `n desimale of breuk wees nie. N moet ook nie negatief wees nie.

As `n voorbeeld, kom ons sê ons wil alle heelgetalle van 1 tot 100 byvoeg. In hierdie geval is 100 die waarde vir N, want dit is die laaste getal in ons reeks, of, met ander woorde, die grootste getal van die optelling.

Prent getiteld Som die heelgetalle van 1 tot N Stap 2

2. Vermenigvuldig N(N + 1) en deel deur 2. Sodra jy die waarde van N gedefinieer het, pas hierdie waarde toe op die vergelyking (N(N + 1))/2. Hierdie vergelyking vind die som van alle heelgetalle tussen 1 en N.

In ons voorbeeld sal ons 100, die waarde vir N, in die vergelyking invul. (N(N + 1))/2 word dan (100 (100 + 1))/2.

Prent getiteld Som die heelgetalle van 1 tot N Stap 3

3. Bereken die antwoord. Die finale waarde van hierdie vergelyking is die som van alle getalle tussen 1 en N.

Kom ons los hierdie voorbeeld op.

(100(100 + 1))/2 =

(100(101))/2 =

(10100)/2 =

5050. die som van alle heelgetalle van 1 tot 100 is 5050.

Prent getiteld Som die heelgetalle van 1 tot N Stap 4

4. Verstaan hoe die vergelyking (N(N + 1))/2 afgelei word. Kyk weer na die voorbeeldprobleem. Verdeel hierdie ry 1 + 2 + 3 + 4... + 99 + 100 in twee groepe -- van 1 tot 50 en een van 51 tot 100. As jy die eerste getal in die eerste groep (1) by die laaste getal in die tweede groep (100) tel, kry jy 101. Jy kry dieselfde antwoord (101) by 2 + 99, 3 + 98, 4 + 97, ensovoorts. As ons elke getal in die eerste groep by sy ooreenstemmende getal in die tweede groep tel, eindig ons met 50 pare getalle met dieselfde som: 101. Dus, 50 x 101 = 5050, die som vir die heelgetalle van 1 tot 100. Let daarop dat 50 die helfte van 100 is, en dat 101 100 + 1 is. Trouens, hierdie waarneming is van toepassing op die som van enige positiewe heelgetal - die som van die komponente kan in twee groepe verdeel word, en die getalle in hierdie groepe kan op so `n manier aan mekaar toegeken word dat elke paar dieselfde som het. Let daarop dat `n onewe ry heelgetalle een getal laat -- dit beïnvloed nie die finale antwoord nie.

Oor die algemeen kan ons sê dat vir enige getal N, die som van die getalle van 1 tot N gelyk is aan (N/2)(N + 1). Die vereenvoudigde vorm van hierdie vergelyking is (N(N + 1))/2, die vergelyking van die som van heelgetalle.

Metode 1 van 1:Deel twee: Gebruik die som van 1 tot N om die som van twee heelgetalle te vind

Prent getiteld Som die heelgetalle van 1 tot N Stap 5

1. Besluit of om inklusief of eksklusief by te voeg. Dikwels is die doel nie om `n reeks heelgetalle van 1 tot `n gegewe getal op te som nie, maar jy sal gevra word om die som van `n reeks heelgetalle te vind tussen twee heelgetalle N₁ en N₂, waar N₁ > N₂ en albei > synde 1. Die proses om hierdie som te vind is relatief eenvoudig, maar voordat ons begin, moet ons besluit of die som inklusief of eksklusief is – met ander woorde, of die N₁ en N₂ sluit in of enigste die heelgetalle tussenin, want die prosedure is effens anders in hierdie gevalle.

Prent getiteld Som die heelgetalle van 1 tot N Stap 6

2. Om die som van die heelgetalle tussen twee getalle N te bepaal₁ en N₂ ons bepaal eers die som van elke waarde van N afsonderlik en trek dit af. Oor die algemeen hoef jy net die som van die kleiner N-waarde van die som van die groter N-waarde af te trek om die antwoord te vind. Egter, soos hierbo genoem, is dit belangrik om te weet of hierdie byvoeging inklusief of eksklusief is. Inklusiewe optelling vereis dat jy 1 van die waarde van N aftrek₂ voordat dit in die vergelyking geplaas word, terwyl eksklusiewe opsomming vereis dat jy 1 van die waarde vir N aftrek₁.

Kom ons sê gevra vir die inklusief som om die heelgetalle tussen N te bepaal₁ = 100 en N₂ = 75. Met ander woorde, ons moet die som van die ry 75 + 76 + 77 vind ... + 99 + 100. Om dit te doen, neem ons die som van die heelgetalle van 1 tot N₁, en trek daardie som af van die heelgetalle van 1 tot N₂ - 1 (onthou dat ons inklusief optel, dus trek ons 1 van N af₂), en werk dit so uit:

(N₁(N₁ + 1))/2 - ((N₂-1)((N₂-1) + 1))/2 =

(100(100 + 1))/2 - (74(74 + 1))/2 =

5050 - (74(75))/2 =

5050 - 5550/2 =

5050 – 2775 = 2275. Die inklusiewe som van die heelgetalle tussen 75 en 100 is 2275.

kom ons nou eksklusief begin tel. Die vergelyking bly dieselfde, behalwe in hierdie geval trek ons 1 van N af₁ in plaas van N₂:

((N₁-1)((N₁-1) + 1))/2 - (N₂(N₂ + 1))/2 =

(99(99 +1))/2 - (75(75 + 1))/2 =

(99(100))/2 - (75(76))/2 =

9900/2 – 5700/2 =

4950 – 2850 = 2100. Die eksklusiewe som van die heelgetalle tussen 75 en 100 is 2100.

Prent getiteld Som die heelgetalle van 1 tot N Stap 7

3. Verstaan hoekom hierdie proses werk. Beskou die som van die heelgetalle van 1 tot 100 as 1 + 2 + 3... + 98 + 99 + 100 en die som van die heelgetalle van 1 tot 75 as 1 + 2 + 3 ... + 73 + 74 + 75. Die inklusiewe som van die heelgetalle van 75 tot 100 beteken 75 + 76 + 77 ... + 99 + 100. Die som van 1-75 en 1-100 is dieselfde totdat een met 75 --– op daardie stadium `stop` die som van 1-75 en die som van 1 - 100 gaan voort, met ... 75 + 76 + 77 ... + 99 + 100. As ons dus die som van die heelgetalle van 1-75 van die som van die heelgetalle van 1-100 aftrek, kan ons die som van die heelgetalle van 75-100 skei.

As ons egter inklusief optel, moet ons die som van 1-74 gebruik in plaas van die som van 1-75 om seker te maak dat 75 by die finale som ingesluit is.

Net so, in eksklusiewe optelling, gebruik ons die som van 1-99, eerder as die som van 1-100, om seker te maak dat 100 nie by die som ingesluit is nie. Ons kan die som van 1-75 gebruik, want deur hierdie som van die som van 1-99 af te trek, sluit die getal 75 van ons finale som uit.

Wenke

Die resultaat is altyd `n heelgetal, want n of n+1 is ewe en kan dus deur 2 gedeel word.
In kort: SOM(1 tot n) = n(n+1)/2
SOM(a tot b)= SOM(1 tot b) - SOM(1 tot a-1).

Waarskuwings

Alhoewel veralgemenings na negatiewe getalle nie baie moeilik is nie, is hierdie verduideliking beperk tot alle positiewe heelgetalle N, waar N ten minste 1 is.