Berekening van faktore

Inhoud

Trappe
Wenke

Faktoriaal word algemeen gebruik vir die berekening van waarskynlikheid en permutasies, of die moontlike volgorde van gebeure. Die faktoriaal word aangedui deur `n uitroepteken ( $!$ ${displaystyle !}$ ), wat beteken dat jy alle getalle in dalende volgorde vanaf die faktorgetal vermenigvuldig. Sodra jy verstaan wat `n faktoriaal is, is dit maklik om te bereken, veral met die hulp van `n wetenskaplike sakrekenaar.

Trappe

Metode 1 van 3: Bereken die faktoriaal van `n getal

1. Bepaal die getal waarvoor jy die faktoriaal bereken. `n Faktoriaal word aangedui deur `n positiewe heelgetal en `n uitroepteken.

Gestel jy wil die faktoriaal van vyf bereken, jy skryf dit as $5!$ ${displaystyle 5!}$ .

2. Skryf die volgorde van getalle neer wat jy gaan vermenigvuldig. `n Faktoriaal is bloot die vermenigvuldiging van die natuurlike getalle in dalende volgorde vanaf die getal van die faktoriaal, tot 1. As `n formule:

n! = n (n - 1) \cdot \cdot \cdot 2 \cdot 1

${displaystyle n!=n(n-1)cdot cdot cdot 2cdot 1}$ , waardeur

n

$n$ gelyk aan `n positiewe heelgetal.

Byvoorbeeld, as jy

5!

${displaystyle 5!}$ As jy wil bereken, doen jy eers

5 (5 - 1) (5 - 2) (5 - 3) (5 - 4)

${displaystyle 5(5-1)(5-2)(5-3)(5-4)}$ of, meer eenvoudig:

5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1

${displaystyle 5cdot 4cdot 3cdot 2cdot 1}$ .

3. Vermenigvuldig die getalle saam. Jy kan die faktoriaal vinnig met `n wetenskaplike sakrekenaar bereken, want dit het `n

X!

${displaystyle x!}$ knop. As jy dit met die hand wil bereken, kan jy dit vereenvoudig deur eers na die faktorpare te soek wat gelyk is aan 10. Natuurlik kan jy die 1 ignoreer, want `n getal maal 1 is gelyk aan die getal self.

Byvoorbeeld: as jy

5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1

${displaystyle 5!=5cdot 4cdot 3cdot 2cdot 1}$ bereken, ignoreer dan die 1 en bereken

5 \cdot 2 = 10

${displaystyle 5cdot 2=10}$ . Al wat nou oorbly is

4 \cdot 3 = 12

${displaystyle 4cdot 3=12}$ . Omdat

10 \cdot 12 = 120

${displaystyle 10cdot 12=120}$ , weet jy

5! = 120

${displaystyle 5!=120}$ .

Metode 2 van 3: Vereenvoudig `n faktoriaal

1. Bepaal watter uitdrukking om te vereenvoudig. Dikwels is dit `n breukdeel.

Gestel byvoorbeeld dat jy $7! 5! \cdot 4!$ ${displaystyle {frac {7!}{5!cdot 4!}}}$ moet vereenvoudig.

2. Skryf die faktore van elke faktoriaal neer. Omdat die fakulteit

n!

${displaystyle n!}$ is `n faktor van `n groter faktoriaal, om dit te vereenvoudig moet jy kyk na die faktore wat jy kan deurtrek. Dit is maklik as jy elke kwartaal uitskryf.

Byvoorbeeld: as jy

7! 5! \cdot 4!

${displaystyle {frac {7!}{5!cdot 4!}}}$ As jy dit wil vereenvoudig, herskryf dit as

1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 (1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5) \cdot (1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4)

${displaystyle {frac {1cdot 2cdot 3cdot 4cdot 5cdot 6cdot 7}{(1cdot 2cdot 3cdot 4cdot 5)cdot (1cdot 2) cdot 3cdot 4)}}}$

3. Elimineer alle terme wat in beide die teller en die noemer voorkom. Dit sal die getalle wat oorbly om te vermenigvuldig vereenvoudig.

Byvoorbeeld: omdat

5!

${displaystyle 5!}$ is `n faktor van

7!

${displaystyle 7!}$ , kan jy

5!

${displaystyle 5!}$ elimineer uit die teller en noemer:

1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 (1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5) \cdot (1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4) = 6 \cdot 7 (1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4)

${displaystyle {frac {{kanselleer {1cdot 2cdot 3cdot 4cdot 5}}cdot 6cdot 7}{({kanselleer {1cdot 2cdot 3cdot 4 cdot 5}})cdot (1cdot 2cdot 3cdot 4)}}={frac {6cdot 7}{(1cdot 2cdot 3cdot 4)}}}$

4. Voltooi die berekeninge. Vereenvoudig waar moontlik. Dit sal jou die finale, vereenvoudigde uitdrukking gee.

Byvoorbeeld:

6 \cdot 7 (1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4)

${displaystyle {frac {6cdot 7}{(1cdot 2cdot 3cdot 4)}}}$

= \frac{42}{24}

${displaystyle ={frac {42}{24}}}$

= \frac{7}{4}

${displaystyle ={frac {7}{4}}}$
Dus,

7! 5! \cdot 4!

${displaystyle {frac {7!}{5!cdot 4!}}}$ is vereenvoudig

\frac{7}{4}

${displaystyle {frac {7}{4}}}$ .

Metode 3 van 3: Doen eenvoudige oefeninge

1. Kyk na die uitdrukking 8!.

As jy `n wetenskaplike sakrekenaar het, druk die sleutel $8$ ${displaystyle 8}$ , gevolg deur die sleutel $X!$ ${displaystyle x!}$ .
As dit met die hand bereken word, skryf die faktore neer wat vermenigvuldig moet word:
$8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$ ${displaystyle 8cdot 7cdot 6cdot 5cdot 4cdot 3cdot 2cdot 1}$
Ignoreer die 1:
$8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$ ${displaystyle 8cdot 7cdot 6cdot 5cdot 4cdot 3cdot 2{kanselleer {cdot 1}}}$
bereken $5 \cdot 2$ ${displaystyle 5cdot 2}$ :
$(5 \cdot 2) 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 4 \cdot 3$ ${displaystyle (5cdot 2)8cdot 7cdot 6cdot 4cdot 3}$
$= (10) 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 4 \cdot 3$ ${displaystyle =(10)8cdot 7cdot 6cdot 4cdot 3}$
Groepeer alle ander getalle wat maklik vermenigvuldig kan word eerste, vermenigvuldig dan alle produkte saam:
$(10) (4 \cdot 3) (7 \cdot 6) (8)$ ${displaystyle (10)(4cdot 3)(7cdot 6)(8)}$
$= (10) (12) (42) (8)$ ${displaystyle =(10)(12)(42)(8)}$
$= (120) (336)$ ${displaystyle =(120)(336)}$
$= 40320$ ${displaystyle =40320}$
so, $8! = 40, 320$ ${displaystyle 8!=40,320}$ .

2. Vereenvoudig die uitdrukking:

12! 6! 3!

${displaystyle {frac {12!}{6!3!}}}$ .

Skryf die faktore van elke faktoriaal neer:

1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10 \cdot 11 \cdot 12 (1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6) (1 \cdot 2 \cdot 3)

${displaystyle {frac {1cdot 2cdot 3cdot 4cdot 5cdot 6cdot 7cdot 8cdot 9cdot 10cdot 11cdot 12}{(1cdot 2cdot 3cdot 4cdot 5cdot 6)(1cdot 2cdot 3)}}}$

Elimineer die terme wat in beide die teller en noemer voorkom:

1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10 \cdot 11 \cdot 12 (1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6) (1 \cdot 2 \cdot 3) = 7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10 \cdot 11 \cdot 12 1 \cdot 2 \cdot 3

${displaystyle {frac {{kanselleer {1cdot 2cdot 3cdot 4cdot 5cdot 6cdot }}7cdot 8cdot 9cdot 10cdot 11cdot 12}{( {kanselleer {1cdot 2cdot 3cdot 4cdot 5cdot 6}})(1cdot 2cdot 3)}}={frac {7cdot 8cdot 9cdot 10 cdot 11cdot 12}{1cdot 2cdot 3}}}$

Voltooi die berekeninge:

7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10 \cdot 11 \cdot 12 1 \cdot 2 \cdot 3

${displaystyle {frac {7cdot 8cdot 9cdot 10cdot 11cdot 12}{1cdot 2cdot 3}}}$

= 665, 280 6

${displaystyle ={frac {665,280}{6}}}$

= 110, 880

${displaystyle =110.880}$
Dus die uitdrukking

12! 6! 3!

${displaystyle {frac {12!}{6!3!}}}$ is vereenvoudig tot

110, 880

${displaystyle 110.880}$ .

3. Probeer die volgende taak. Jy het ses skilderye wat jy graag langs mekaar aan die muur wil hang. Op hoeveel maniere kan jy die skilderye ophang?

Aangesien jy op soek is na die aantal verskillende maniere om `n ry te orden, kan jy dit oplos deur die faktoriaal van die aantal voorwerpe in die ry te vind.

Die aantal moontlike maniere om die ses skilderye in `n ry te hang, kan opgelos word deur

6!

${displaystyle 6!}$ te bereken.

Druk die sleutel op `n wetenskaplike sakrekenaar

6

$6$ , gevolg deur die sleutel

X!

${displaystyle x!}$ .

As jy dit met die hand oplos, skryf die faktore neer wat vermenigvuldig moet word:

6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1

${displaystyle 6cdot 5cdot 4cdot 3cdot 2cdot 1}$

Ignoreer die 1:

6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1

${displaystyle 6cdot 5cdot 4cdot 3cdot 2{cancel {cdot 1}}}$

bereken

5 \cdot 2

${displaystyle 5cdot 2}$ :

(5 \cdot 2) 6 \cdot 4 \cdot 3

${displaystyle (5cdot 2)6cdot 4cdot 3}$

= (10) 6 \cdot 4 \cdot 3

${displaystyle =(10)6cdot 4cdot 3}$

Groepeer eers die ander nommers wat maklik is om te vermenigvuldig, en vermenigvuldig dan alle produkte saam:

(10) (4 \cdot 3) (6)

${displaystyle (10)(4cdot 3)(6)}$

= (10) (12) (6)

${displaystyle =(10)(12)(6)}$

= (120) (6)

${displaystyle =(120)(6)}$

= 720

${displaystyle =720}$
As jy dus ses skilderye in `n ry langs mekaar hang, kan jy dit op 720 verskillende maniere doen.

4. Probeer die volgende taak. Jy het ses skilderye. Jy wil drie van hulle ophang. Op hoeveel verskillende maniere kan jy drie van die skilderye rangskik?

Aangesien jy ses verskillende skilderye het, maar net drie kies, hoef jy net die eerste drie getalle in die ry te vermenigvuldig om die faktoriaal van ses te bereken. Jy kan ook die formule gebruik

n! (n - r)!

${displaystyle {frac {n!}{(n-r)!}}}$ gebruik, waar

n

$n$ is gelyk aan die aantal voorwerpe waaruit jy kies, en

r

$r$ is gelyk aan die aantal voorwerpe wat jy gebruik. Hierdie formule werk net as daar geen iterasies is nie (`n voorwerp kan nie meer as een keer gekies word nie), en die volgorde maak nie saak nie (omdat jy die aantal verskillende maniere wil beheer waarop dinge georden kan word).

Die aantal moontlike maniere om drie van ses skilderye in `n ry te rangskik en op te hang, kan gevind word deur

6! (6 - 3)!

${displaystyle {frac {6!}{(6-3)!}}}$ om op te los.

Trek die getalle in die noemer af:

6! (6 - 3)!

${displaystyle {frac {6!}{(6-3)!}}}$

= 6! 3!

${displaystyle ={frac {6!}{3!}}}$

Skryf die faktore van elke faktoriaal neer:

6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 3 \cdot 2 \cdot 1

${displaystyle {frac {6cdot 5cdot 4cdot 3cdot 2cdot 1}{3cdot 2cdot 1}}}$

Elimineer die terme wat in beide die teller en noemer voorkom:

6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 3 \cdot 2 \cdot 1

${displaystyle {frac {6cdot 5cdot 4cdot {cancel {3cdot 2cdot 1}}}{cancel {3cdot 2cdot 1}}}}$

Voltooi die berekeninge:

6 \cdot 5 \cdot 4 = 120

${displaystyle 6cdot 5cdot 4=120}$
Drie van altesaam ses skilderye kan dus op 120 verskillende maniere in `n ry gehang word.

Wenke

1! =1, volgens die definisie
Alhoewel dit `n bietjie onlogies lyk, kan jy aanvaar dat 0! = 1, tensy anders vermeld
Fakulteit word gebruik vir die oplossing van kombinatoriese probleme, so oefen hierdie vaardigheid
Moenie vergeet om jou werk na te gaan nie

Artikels oor die onderwerp "Bereken die faktoriaal"

Bereken lotery kans

Bereken die afslag op 'n produk

Bereken jou gpa

Bereken variansie

Оцените, пожалуйста статью